Analyse de variance à deux facteurs

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Quand l’utiliser ?

Étude de l’influence de X1 et X2 sur Y avec :

Étape 1 : lecture du jeu de données

Importer le jeu de données

Utiliser le jeu de données :

attach(data)

Y = quantitative
X1 = qualitative1
X2 = qualitative2

Étape 2 : description des données

Visualisation des données (boxplots) :

boxplot(Y~X1+X2)

Étape 3 : vérification des conditions d’application

Condition 1 : indépendance des données

Le jeu de données doit avoir été fait tel que toutes les observations sont indépendantes les unes des autres

Condition 2 : normalité des distributions

Création de sous-groupes de Y pour les toutes les combinaisons de modalités :

mod1a2a = Y[X1=="Modalite1a" & X2=="Modalite2a"]
mod1a2b = Y[X1=="Modalite1a" & X2=="Modalite2b"]
mod1b2a = Y[X1=="Modalite1b" & X2=="Modalite2a"]
mod1b2b = Y[X1=="Modalite1b" & X2=="Modalite2b"]

Hypothèses de normalité :
H0 : les données suivent une loi normale
H1 : les données ne suivent pas une loi normale

Vérification de la normalité de la distribution de Y dans chaque modalité de X :

shapiro.test(mod1a2a)
shapiro.test(mod1a2b)
shapiro.test(mod1b2a)
shapiro.test(mod1b2b)

Conclusions au seuil 5% :
p-value < 0,05 pour chaque sous-groupe → rejet de H0 → les données ne suivent pas une loi normale
p-value > 0,05 pour chaque sous-groupe → non rejet de H0 → les données suivent une loi normale → condition OK

Condition 3 : homoscédasticité ou égalité des variances

Hypothèses d’homoscédasticité :
H0 : pas de différence entre les variances des différents sous-groupes
H1 : différence entre les variances des différents sous-groupes

Test de Bartlett :

bartlett.test(Y,paste(X1,X2))

Conclusion au seuil 5% :
p-value < 0,05 → rejet de H0 → au moins une différence entre les variances
p-value > 0,05 → non rejet de H0 → homoscédasticité → condition OK

Choix du test

Si toutes les conditions sont vérifiées → test paramétrique
Si au moins une des conditions n’est pas vérifiée → test non paramétrique

Étape 4 : réalisation du test

Test paramétrique

Hypothèses :
Première partie
H0 : pas d’effet du facteur X1 sur Y
H1 : effet du facteur X1 sur Y

Deuxième partie
H0 : pas d’effet du facteur X2 sur Y
H1 : effet du facteur X2 sur Y

Troisième partie
H0 : pas d’effet de l’interaction des facteurs X1 et X2 sur Y
H1 : effet de l’interaction des facteurs X1 et X2 sur Y

Calcul de l’ANOVA :

anova = aov(Y~X1+X2+X1*X2)

Affichage des résultats :

summary(anova)

Conclusions au seuil 5% :
Première partie
p-value < 0,05 → rejet de H0 → effet de X1 sur Y
p-value > 0,05 → non rejet de H0 → pas d’effet de X1 sur Y

Deuxième partie
p-value < 0,05 → rejet de H0 → effet de X2 sur Y
p-value > 0,05 → non rejet de H0 → pas d’effet de X2 sur Y

Troisième partie
p-value < 0,05 → rejet de H0 → effet de l’interaction de X1 et X2 sur Y
p-value > 0,05 → non rejet de H0 → pas d’effet de l’interaction de X1 et X2 sur Y

Étape 5 : conclusion finale

Si on ne peut pas rejeter H0 → analyse terminée
Si on rejette H0 → comparaison des modalités 2 à 2

Comparaison des modalités 2 à 2 :

pairwise.t.test(Y,paste(X1,X2),p.adjust.method = "bonferroni")

Remarque : l’ajustement de la p-value est nécessaire quand on a plus de 2 modalités

Conclusion au seuil 5% :
p-value < 0,05 → rejet de H0 → différence significative de Y dans les 2 modalités
p-value > 0,05 → non rejet de H0 → pas de différence significative de Y dans les 2 modalités

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